翻訳と辞書 Words near each other ・ Pfiesteria ・ Pfiesteria piscicida ・ Pfiesteria shumwayae ・ Pfiffelbach ・ Pfinder ・ Pfingstberg (Potsdam) ・ Pfingstwiesengraben ・ Pfinz ・ Pfinztal ・ PFIQ ・ PFIs ・ Pfister ・ Pfister & Vogel ・ Pfister (firm) ・ Pfister form ・ Pfister's sixteen-square identity ・ Pfisterer ・ Pfisters Mühle ・ Pfitsch ・ Pfitscher Bach ・ Pfitscherjoch ・ Pfitschigogerl ・ Pfitschtal ・ Pfitz ・ Pfitzbach ・ Pfitzer ・ Pfitzinger reaction ・ Pfitzner ・ Pfitzner (surname) ・ Pfitzner Flyer Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク Pfister's sixteen-square identity ： ウィキペディア英語版 Pfister's sixteen-square identity In algebra, Pfister's sixteen-square identity is a non-bilinear identity of form :$$ \begin & ^2) \\() & = z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2+\cdots+z_^2 \end It was first proven to exist by H. Zassenhaus and W. Eichhorn in the 1960s,〔H. Zassenhaus and W. Eichhorn, "Herleitung von Acht- und Sechzehn-Quadrate-Identitaten mit Hilfe von Eigenschaften der verallgemeinerten Quaternionen und der Cayley-Dicksonchen Zahlen," Arch. Math. 17 (1966), 492-496〕 and independently by Pfister〔A. Pfister, Zur Darstellung von -1 als Summe von Quadraten in einem Korper," J. London Math. Soc. 40 (1965), 159-165〕 around the same time. There are several versions, a concise one of which is :$\backslash ,^\}\; +\; u\_1\; y\_9\; -\; u\_2\; y\_\; -\; u\_3\; y\_\; -\; u\_4\; y\_\; -\; u\_5\; y\_\; -\; u\_6\; y\_\; -\; u\_7\; y\_\; -\; u\_8\; y\_\}$ :$\backslash ,^\}\; +\; u\_2\; y\_9\; +\; u\_1\; y\_\; +\; u\_4\; y\_\; -\; u\_3\; y\_\; +\; u\_6\; y\_\; -\; u\_5\; y\_\; -\; u\_8\; y\_\; +\; u\_7\; y\_\}$ :$\backslash ,^\}\; +\; u\_3\; y\_9\; -\; u\_4\; y\_\; +\; u\_1\; y\_\; +\; u\_2\; y\_\; +\; u\_7\; y\_\; +\; u\_8\; y\_\; -\; u\_5\; y\_\; -\; u\_6\; y\_\}$ :$\backslash ,^\}\; +\; u\_4\; y\_9\; +\; u\_3\; y\_\; -\; u\_2\; y\_\; +\; u\_1\; y\_\; +\; u\_8\; y\_\; -\; u\_7\; y\_\; +\; u\_6\; y\_\; -\; u\_5\; y\_\}$ :$\backslash ,^\}\; +\; u\_5\; y\_9\; -\; u\_6\; y\_\; -\; u\_7\; y\_\; -\; u\_8\; y\_\; +\; u\_1\; y\_\; +\; u\_2\; y\_\; +\; u\_3\; y\_\; +\; u\_4\; y\_\}$ :$\backslash ,^\}\; +\; u\_6\; y\_9\; +\; u\_5\; y\_\; -\; u\_8\; y\_\; +\; u\_7\; y\_\; -\; u\_2\; y\_\; +\; u\_1\; y\_\; -\; u\_4\; y\_\; +\; u\_3\; y\_\}$ :$\backslash ,^\}\; +\; u\_7\; y\_9\; +\; u\_8\; y\_\; +\; u\_5\; y\_\; -\; u\_6\; y\_\; -\; u\_3\; y\_\; +\; u\_4\; y\_\; +\; u\_1\; y\_\; -\; u\_2\; y\_\}$ :$\backslash ,^\}\; +\; u\_8\; y\_9\; -\; u\_7\; y\_\; +\; u\_6\; y\_\; +\; u\_5\; y\_\; -\; u\_4\; y\_\; -\; u\_3\; y\_\; +\; u\_2\; y\_\; +\; u\_1\; y\_\}$ :$\backslash ,^\; y\_3\; -\; x\_\; y\_4\; -\; x\_\; y\_5\; -\; x\_\; y\_6\; -\; x\_\; y\_7\; -\; x\_\; y\_8\; +\; x\_1\; y\_9\; -\; x\_2\; y\_\; -\; x\_3\; y\_\; -\; x\_4\; y\_\; -\; x\_5\; y\_\; -\; x\_6\; y\_\; -\; x\_7\; y\_\; -\; x\_8\; y\_\}$ :$\backslash ,^\; y\_1\; +\; x\_9\; y\_2\; +\; x\_\; y\_3\; -\; x\_\; y\_4\; +\; x\_\; y\_5\; -\; x\_\; y\_6\; -\; x\_\; y\_7\; +\; x\_\; y\_8\; +\; x\_2\; y\_9\; +\; x\_1\; y\_\; +\; x\_4\; y\_\; -\; x\_3\; y\_\; +\; x\_6\; y\_\; -\; x\_5\; y\_\; -\; x\_8\; y\_\; +\; x\_7\; y\_\}$ :$\backslash ,^\; y\_1\; -\; x\_\; y\_2\; +\; x\_9\; y\_3\; +\; x\_\; y\_4\; +\; x\_\; y\_5\; +\; x\_\; y\_6\; -\; x\_\; y\_7\; -\; x\_\; y\_8\; +\; x\_3\; y\_9\; -\; x\_4\; y\_\; +\; x\_1\; y\_\; +\; x\_2\; y\_\; +\; x\_7\; y\_\; +\; x\_8\; y\_\; -\; x\_5\; y\_\; -\; x\_6\; y\_\}$ :$\backslash ,^\; y\_1\; +\; x\_\; y\_2\; -\; x\_\; y\_3\; +\; x\_9\; y\_4\; +\; x\_\; y\_5\; -\; x\_\; y\_6\; +\; x\_\; y\_7\; -\; x\_\; y\_8\; +\; x\_4\; y\_9\; +\; x\_3\; y\_\; -\; x\_2\; y\_\; +\; x\_1\; y\_\; +\; x\_8\; y\_\; -\; x\_7\; y\_\; +\; x\_6\; y\_\; -\; x\_5\; y\_\}$ :$\backslash ,^\; y\_1\; -\; x\_\; y\_2\; -\; x\_\; y\_3\; -\; x\_\; y\_4\; +\; x\_9\; y\_5\; +\; x\_\; y\_6\; +\; x\_\; y\_7\; +\; x\_\; y\_8\; +\; x\_5\; y\_9\; -\; x\_6\; y\_\; -\; x\_7\; y\_\; -\; x\_8\; y\_\; +\; x\_1\; y\_\; +\; x\_2\; y\_\; +\; x\_3\; y\_\; +\; x\_4\; y\_\}$ :$\backslash ,^\; y\_1\; +\; x\_\; y\_2\; -\; x\_\; y\_3\; +\; x\_\; y\_4\; -\; x\_\; y\_5\; +\; x\_9\; y\_6\; -\; x\_\; y\_7\; +\; x\_\; y\_8\; +\; x\_6\; y\_9\; +\; x\_5\; y\_\; -\; x\_8\; y\_\; +\; x\_7\; y\_\; -\; x\_2\; y\_\; +\; x\_1\; y\_\; -\; x\_4\; y\_\; +\; x\_3\; y\_\}$ :$\backslash ,^\; y\_1\; +\; x\_\; y\_2\; +\; x\_\; y\_3\; -\; x\_\; y\_4\; -\; x\_\; y\_5\; +\; x\_\; y\_6\; +\; x\_9\; y\_7\; -\; x\_\; y\_8\; +\; x\_7\; y\_9\; +\; x\_8\; y\_\; +\; x\_5\; y\_\; -\; x\_6\; y\_\; -\; x\_3\; y\_\; +\; x\_4\; y\_\; +\; x\_1\; y\_\; -\; x\_2\; y\_\}$ :$\backslash ,^\; y\_1\; -\; x\_\; y\_2\; +\; x\_\; y\_3\; +\; x\_\; y\_4\; -\; x\_\; y\_5\; -\; x\_\; y\_6\; +\; x\_\; y\_7\; +\; x\_9\; y\_8\; +\; x\_8\; y\_9\; -\; x\_7\; y\_\; +\; x\_6\; y\_\; +\; x\_5\; y\_\; -\; x\_4\; y\_\; -\; x\_3\; y\_\; +\; x\_2\; y\_\; +\; x\_1\; y\_\}$ If all $x\_i,y\_i$ with $i>8$ are set equal to zero, then it reduces to Degen's eight-square identity (in blue). The $u\_i$ are :$u\_1\; =\; \backslash tfrac\; +x\_4\; x\_\; +x\_5\; x\_\; +x\_6\; x\_\; +x\_7\; x\_\; +x\_8\; x\_)\}$ :$u\_2\; =\; \backslash tfrac\; +x\_3\; x\_\; +x\_4\; x\_\; +x\_5\; x\_\; +x\_6\; x\_\; +x\_7\; x\_\; +x\_8\; x\_)\}$ :$u\_3\; =\; \backslash tfrac\; +bx\_3\; x\_\; +x\_4\; x\_\; +x\_5\; x\_\; +x\_6\; x\_\; +x\_7\; x\_\; +x\_8\; x\_)\}$ :$u\_4\; =\; \backslash tfrac\; +x\_3\; x\_\; +bx\_4\; x\_\; +x\_5\; x\_\; +x\_6\; x\_\; +x\_7\; x\_\; +x\_8\; x\_)\}$ :$u\_5\; =\; \backslash tfrac\; +x\_3\; x\_\; +x\_4\; x\_\; +bx\_5\; x\_\; +x\_6\; x\_\; +x\_7\; x\_\; +x\_8\; x\_)\}$ :$u\_6\; =\; \backslash tfrac\; +x\_3\; x\_\; +x\_4\; x\_\; +x\_5\; x\_\; +bx\_6\; x\_\; +x\_7\; x\_\; +x\_8\; x\_)\}$ :$u\_7\; =\; \backslash tfrac\; +x\_3\; x\_\; +x\_4\; x\_\; +x\_5\; x\_\; +x\_6\; x\_\; +bx\_7\; x\_\; +x\_8\; x\_)\}$ :$u\_8\; =\; \backslash tfrac\; +x\_3\; x\_\; +x\_4\; x\_\; +x\_5\; x\_\; +x\_6\; x\_\; +x\_7\; x\_\; +bx\_8\; x\_)\}$ and, :$a=-1,\backslash ;\backslash ;b=0,\backslash ;\backslash ;c=x\_1^2+x\_2^2+x\_3^2+x\_4^2+x\_5^2+x\_6^2+x\_7^2+x\_8^2\backslash ,.$ The $u\_i$ also obey, :$u\_1^2+u\_2^2+u\_3^2+u\_4^2+u\_5^2+u\_6^2+u\_7^2+u\_8^2\; =\; x\_^2+x\_^2+x\_^2+x\_^2+x\_^2+x\_^2+x\_^2+x\_^2\backslash ,$ Thus the identity shows that, in general, the product of two sums of sixteen squares is the sum of sixteen rational squares. No sixteen-square identity exists involving only bilinear functions since Hurwitz's theorem states an identity of the form :$(x\_1^2+x\_2^2+x\_3^2+\backslash cdots+x\_n^2)(y\_1^2+y\_2^2+y\_3^2+\backslash cdots+y\_n^2)\; =\; z\_1^2+z\_2^2+z\_3^2+\backslash cdots+z\_n^2\backslash ,$ with the $z\_i$ bilinear functions of the $x\_i$ and $y\_i$ is possible only for ''n'' ∈ . However, the more general Pfister's theorem (1965) shows that if the $z\_i$ are just rational functions of one set of variables, hence has a denominator, then it is possible for all $n\; =\; 2^m$.〔Pfister's Theorem on Sums of Squares, Keith Conrad, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/pfister.pdf〕 There are also non-bilinear versions of Euler's four-square and Degen's eight-square identities. ==See also== * Brahmagupta–Fibonacci identity * Euler's four-square identity * Degen's eight-square identity * Sedenions 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「Pfister's sixteen-square identity」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.